多项式环

多项式环是你把一个或多个“自由的”不定符号添加到基环上，让它们与原有元素相加相乘、且彼此之间不附加任何关系所得到的环。它是“让一个环生长”最基本的方式，也是代入运算的泛用居所：凡是你能为变量代入的，都可以代入。

给定交换环 R，多项式环 R[x] 由一切有限形式和 a_n x^n + ... + a_1 x + a_0（系数 a_i 属于 R）构成，逐系数相加，并按通常的卷积法则相乘。迭代即得多变量的 R[x_1, ..., x_n]。其定义性的泛性质是：R[x] 是单生成元上的自由交换 R-代数——从 R[x] 出发的同态由 x 的像的自由选择所唯一决定。

多项式环是代数的主力。希尔伯特基定理说：只要 R 是诺特环，R[x] 就是诺特环；高斯引理说：只要 R 是唯一分解整环，R[x] 就是唯一分解整环。在域上，k[x] 是欧几里得整环从而是主理想整环，但 k[x, y] 两者都不是——理想 (x, y) 需要两个生成元。从几何上看，k[x_1, ..., x_n] 是仿射 n 维空间的坐标环，故其理想编码多项式方程组及其解集。