自由代数

自由代数是你能在给定生成元集上构造的最一般的代数：它除该类公理所强加者之外不加任何关系，故其元素是“你可能写下的一切”，并且没有任何东西偶然相等。正因它不多假设，它便映满每个同类型的代数——指定生成元该去往何处，其余映射便被唯一逼定。

严格地说，固定一个簇 V 与一组生成元 X。V 中 X 上的自由代数 F_V(X) 带有一个嵌入映射 X -> F_V(X)，满足如下泛性质：对 V 中每个代数 A 及每个函数 g: X -> A，存在唯一同态 h: F_V(X) -> A 延拓 g。具体地，F_V(X) 是 X 上的项代数模去如下同余——它恰好在 V 的恒等式逼使两项相等时把它们等同；当 V 为全体 Σ-代数（无恒等式）时该同余平凡，自由代数即项代数本身。

自由代数是泛代数的引擎：V 中每个代数都是某自由代数的商，V 的恒等式恰是在各自由代数中相等的项对，而可数无穷 X 上的 F_V(X) 决定整个 V。熟悉的例子比比皆是——集上的自由群、自由幺半群（拼接下的字）、自由交换环 Z[x_1, x_2, ...]（多项式环）、自由布尔代数、自由向量空间（以 X 为基）。