簇（泛代数）

簇是一种代数门类，它不是由单个例子、而是由其中一切都须遵守的一列律所定义。“所有群”是一个簇；“所有交换环”是一个簇；“所有格”是一个簇。统一的思想是：是否属于该类纯由满足等式决定，于是这个类以良好的方式封闭，并带有丰富而统一的理论。

严格地说，固定签名 Σ 与一组 Σ 上的恒等式 E。簇 V = Mod(E) 是满足 E 中每条恒等式的全体 Σ-代数所成的类。这种类称为等式类，而一个类恰当其等于某 E 的 Mod(E) 时才是簇。在一个簇内，任意生成元集上的自由代数总是存在，且每个代数都是某自由代数的商，因此簇完全由其自由对象所决定。

当心这个不幸的名称冲突：此处的“簇”是泛代数概念（等式类），与代数几何中的代数簇（多项式的零点集）截然不同。两者仅共用一个词。关于我们意义下的簇的深刻结构性事实是伯克霍夫的 HSP 定理，它用对同态像、子代数与积的封闭性来刻画簇。