恒等式（泛代数）

恒等式是一条无论代入什么都成立的律。“x + y = y + x”不是要为特定值去解的方程；它是对每一对元素同时作出的承诺。泛代数把这种恒真等式当作基本货币，因为大量代数内容——交换律、结合律、分配律、幂等律——无非就是这类被全称量化的等式所刻画。

严格地说，给定签名 Σ，一个恒等式是一对 Σ-项，记作 s ≈ t（或 s = t），理解为全称量化语句“对所有变元，s = t”。称代数 A 满足该恒等式，记作 A ⊨ s ≈ t，若把载体元素任意指派给变元，都使两侧的项求值为同一元素。注意两侧仅由运算符号与变元构造；恒等式内部没有量词、没有关系、没有否定。

正是这种狭窄形式赋予等式逻辑以威力。伯克霍夫完备性定理说：由一组 E 经自反、对称、传递、代入与替换所导出的恒等式，恰好就是在 E 的每个模型中为真者——一个干净而完备的证明演算。其反面是表达力的薄弱：“x ≠ y”或“x 有逆”都不是恒等式，许多自然条件（是域、可消去）也无法以等式写出。