签名

在你能写下群或环是什么之前，得先声明词汇：哪些符号用来命名运算，每个又接受几个输入。签名恰恰就是这份声明——代数语言的语法，事先固定，并由同一类的每个结构共享。两个代数只有讲同一签名，才能被比较、才可能同态。

严格地说，签名（也称类型或相似类型）是一组运算符号 Σ，连同一个元数函数 ar: Σ -> N，给每个符号指派一个非负整数。一个 Σ-代数则是一个载体 A，外加对每个元数为 n 的符号 f，一个真正解释该符号的运算 f^A: A^n -> A。常量不过是零元符号。人们常把签名写成清单，如群的 (·, ^{-1}, e)、元数 (2, 1, 0)，或环的 (+, ·, -, 0, 1)。

签名支配着下游的一切：项只能由这些符号与变元构造，恒等式是这类项之间的等式，同态则是与签名中每个运算可交换的映射。选定签名是一项实实在在的设计决定——把群的逆记为一个运算（而非仅断言其存在），正是使群成为可等式公理化之簇、而非仅仅初等类的原因。