代数结构

可以把代数结构想成一堆对象，外加一份固定的“组合方式清单”，而每种组合都遵守若干写明的规则。群、环、向量空间、格——表面上千差万别，但每一个都不过是“一个集合 + 若干运算 + 若干公理”。泛代数正是退后一步、把它们统统放在一起研究的学科，追问哪些定理其实只是关于“群”的，哪些则是关于“任何带满足等式之运算的集合”的。

严格地说，一个代数结构（简称一个代数）是一个序对 (A, F)，其中 A 是称为载体（或底集）的集合，F 是 A 上一族有限元运算，即对各非负整数 n 而言的函数 f: A^n -> A，n 称为该运算的元数（arity）。零元运算（n = 0）只是挑出一个特定元素，如群的单位元。运算符号连同其元数的清单称为签名；运算须满足的等式或其他公式称为公理。

关键在于，纯泛代数中没有关系符号、也没有偏运算：一切都是处处有定义的全运算。例如域在这里就显得别扭，因为求逆在 0 处无定义，所以域类并非簇（variety）。这种收窄是换取一般性的代价：坚持全运算与等式公理，便能得到横跨群、环、格、布尔代数等的、统一成立的结构性大定理（同态定理、伯克霍夫定理）。