群公理

群公理就是那张四项清单，用来判定一个带运算的集合配不配叫“群”。把它们想成一次质量检查：任何候选者都必须四项全过才能获准入选。它们短到可以背下来，却又强到足以从中挤出整个群论。

这四条是：（1）封闭性——对 G 中所有 a, b，a * b 也在 G 中。（2）结合律——对所有 a, b, c 有 (a * b) * c = a * (b * c)。（3）单位元——存在元素 e 使对每个 a 有 e * a = a * e = a。（4）逆元——对每个 a 存在元素 b 使 a * b = b * a = e。（封闭性有时被并入运算本身的定义，从而只剩三条公理；无论哪种说法，要求都相同。）

两个著名的推论几乎是免费得到的：单位元唯一，每个元素的逆元唯一。被刻意省去的是可交换性（a * b = b * a）——它不是必需的，满足它的群被另外授予阿贝尔的称号。每当遇到一个新的候选结构，逐一核对这四项就是标准的第一步。