抽象代数：群、环与域
逆元
逆元是另一个元素的“撤销键”：把两者结合，你恰好落在单位元上，仿佛什么都没发生过。如果一个动作把正方形顺时针旋转 90 度，它的逆元就把它逆时针旋转 90 度。逆元的全部意义就在于抵消掉，回到起点。
形式地说，在以 e 为单位元的群中，元素 a 的逆元是满足 a * b = b * a = e 的元素 b。第四条群公理保证每个元素都有逆元。借助结合律，逆元唯一，因此我们可以放心地把它写成 a⁻¹（当运算用加法书写时则写成 -a）。
逆元正是让群关乎可逆过程的东西——每个动作都能被撤销。要小心：逆元取决于运算。在加法下，5 的逆元是 -5；在乘法下，5 的逆元是 1/5。而数 0 有加法逆元，却没有乘法逆元，这正是你不能除以零的原因。
在模 7 乘法中，3 的逆元是 5，因为 3 · 5 = 15 = 14 + 1 ≡ 1 (mod 7)。所以在这个群里，5 “撤销”了乘以 3 的运算。
在 (ℤ/7ℤ)* 中 3⁻¹ = 5。
关于乘积有一个好用的恒等式：(a * b)⁻¹ = b⁻¹ * a⁻¹，顺序要颠倒过来——就像脱鞋袜的顺序与穿的顺序相反。在非阿贝尔群中顺序是要紧的，所以别习惯性地写成 a⁻¹ * b⁻¹。
另见