群的单位元

群的单位元是它的“什么都不做”元素：把任何东西与它结合，那东西原封不动地回来。对加法，单位元是 0（n + 0 = n）；对乘法，是 1（n · 1 = n）；对图形的对称，则是让图形保持原样的那个动作。每个群都必须有一个单位元。

形式地说，单位元是满足对群中每个 a 都有 e * a = a * e = a 的元素 e。第三条群公理要求它存在，而一个简短的证明表明它必定唯一：若有两个元素都像单位元那样起作用，它们就必须相等。所以一个群恰有一个单位元，不多不少。

单位元是整个理论其余部分的锚点：逆元是相对于它定义的（当 a * b = e 时 b 是 a 的逆元），而元素的阶则用“要施加多少次才回到 e”来度量。没有一个固定的参照点，这两个概念都将无从谈起。