元素的阶

元素的阶衡量它要多久才能“转一整圈”。把同一个元素不断作用到自身上；阶就是第一次回到单位元之前所走的步数。在钟面上每次往前走 4 小时，你在 3 步后回到起点（4, 8, 12）——所以这一步的阶是 3。

形式地说，在以 e 为单位元的群中，元素 a 的阶是使 a^n = e 成立的最小正整数 n（用加法记号则是使 n·a = e 的最小 n）。若不存在这样的 n——你可以永远施加 a 而始终回不到 e——则该元素具有无限阶。

阶是一个元素的根本指纹。该元素生成一个循环子群，其大小等于它的阶；而由拉格朗日定理，这个大小必须整除有限群的阶。不要把元素的阶（单个元素的属性）与群的阶（群所含元素的个数）混为一谈。