子群

子群是住在更大群里、用同一个运算的群。想象一个小齿轮在大齿轮内转动：它本身自成一体、完整无缺，却又是周围结构的一部分。偶数就这样住在全体整数里——两个偶数相加仍得偶数。

形式地说，群 G 的子集 H 若在 G 的运算下本身构成群，则 H 是子群。实际操作中你要检查三点：H 含有单位元；H 对运算封闭（H 中两元素结合仍在 H 中）；H 对取逆封闭（H 中任意元素的逆元也在 H 中）。每个群至少有两个子群：整个群，以及只含单位元的平凡子群。

子群把一个群组织成可理解的若干部分。它们是陪集、商群以及拉格朗日定理的来源——后者说有限子群的大小必须整除整个群的大小。一个对运算封闭、却缺少逆元或单位元的子集不是子群——这三个条件缺一不可。