循环群

循环群是一种能从单个元素出发、靠对它反复施加运算就完全生成出来的群。想象钟面上的小时：从“走一步”开始不断重复，最终会走遍每一个小时，然后绕回起点。一个起始动作就足以到达整个结构。

形式地说，若存在一个元素 g（称为生成元），使得 G 的每个元素都是某整数 n 的幂 g^n（在加法记号下则是倍数 n·g），则群 G 是循环的。有限循环群与模 n 加法下的整数完全一样；唯一的无限循环群是加法下的整数，由 1 生成。

每个循环群都自动是阿贝尔群，因为同一元素的幂总可交换（g^m · g^n = g^(m+n) = g^n · g^m）。反之不成立：许多阿贝尔群并不是循环的。循环群是最简单的非平凡群，也是理解一切有限阿贝尔群的基本构件。