抽象代数：群、环与域
群
群是用数学语言对“对称”和“可逆操作”的捕捉。想想你能用多少种方式旋转一个正方形而让它看上去没变，或者魔方的所有招式：你可以把两招合成一招，“什么都不做”永远是一个选项，而且每一招都能被还原。任何具备这些特征的系统都是一个群，无论它的元素究竟是什么。
形式地说，群是一个集合 G 连同一个二元运算 *，满足四条规则：封闭性（a * b 总在 G 中）、结合律（(a * b) * c = a * (b * c)）、存在单位元 e 使得对所有 a 有 e * a = a * e = a，以及逆元（每个 a 都有某个 b 使 a * b = b * a = e）。这就是定义的全部——四个简短的条件，却由此推出惊人多的数学。
群无处不在：加法下的整数，乘法下的非零分数，图形的对称，纸牌的洗法。抽象定义的威力在于：一条关于“任意群”的定理立刻同时适用于所有这些情形。注意群只需一个运算；该运算不必可交换，而当它可交换时，我们给这个群一个专门的名字——阿贝尔群。
整数在加法下构成群：封闭（m + n 是整数）、结合、单位元为 0，且 n 的逆元是 -n，因为 n + (-n) = 0。而同样的整数在乘法下不是群，因为 2 没有整数乘法逆元。
(ℤ, +) 是群；(ℤ, ×) 不是。
一个常见的失误是要求可交换性。群不必可交换——正方形的对称和纸牌的洗法确实是不可交换的。可交换性是一条额外的、可选的性质（阿贝尔），并不在四条公理之内。
另见