抽象代数：群、环与域
二元运算
二元运算就像一台机器：从一个集合里取两样东西，吐出一样东西——理想情况下吐出的东西仍在同一个集合里。普通的加法就是数上的二元运算：喂给它 3 和 5，它返回 8。乘法也是，把一个旋转叠加到另一个旋转上也是。“二元”一词只是说它恰好接受两个输入。
更精确地说，集合 S 上的二元运算是一个函数，它给 S 中每一个有序对 (a, b) 指定 S 中唯一一个元素，通常记作 a * b。关键要求是封闭性：结果必须落回 S 之内。减法是整数上的二元运算（3 - 5 = -2 仍是整数），但不是自然数上的二元运算，因为 3 - 5 已经离开了那个集合。
顺序可能要紧：a * b 不一定等于 b * a（想想减法，或想想以不同次序做两个旋转）。如果顺序从不影响结果，就称这个运算是可交换的。抽象代数几乎全部都在研究配备了一到两个良好二元运算的集合，所以这就是群、环、域共同生长出来的种子。
在集合 {0, 1, 2} 上定义 a * b = (a + b) mod 3。则 2 * 2 = (4) mod 3 = 1，结果仍在 {0, 1, 2} 中，所以这是该集合上的一个二元运算。
模 3 加法——在三元素集合上封闭。
封闭性是定义的一部分，不是额外的好处：如果 a * b 可能落在 S 之外，那么 * 根本就不是 S 上的二元运算。务必同时检查：答案总是存在，并且总是留在集合之内。
又称
另见