拉格朗日定理

拉格朗日定理是有限群的一条简洁的整除律：任何子群的大小都必须整除整个群的大小，不留余数。如果一个群有 12 个元素，那么每个子群必须有 1、2、3、4、6 或 12 个元素——大小为 5 的子群根本不可能存在。这是初学者在群论中遇到的最早的、既出人意料又强有力的事实之一。

形式地说，若 G 是有限群、H 是子群，则 H 的阶整除 G 的阶。证明的办法是把 G 切成若干个等大小的、由 H 平移而来的副本，称为陪集：这些副本互不相交、大小相同，合起来恰好填满 G，所以 H 的元素个数必定能把 G 的元素个数整除。

由此推论接连而来。由于每个元素生成一个循环子群，其大小是该元素的阶，故元素的阶也必整除群的阶。从这里很快可以证明数论中的费马小定理。关于逆命题要提醒一句：群的阶的一个因子未必对应一个真实存在的子群——拉格朗日定理给出限制，却不保证存在性。