对称群

对称群是把一组对象重新排列的所有可能方式所构成的群。设想有 n 把标号的椅子和 n 个人：对称群的一个元素就是一份完整的座位安排，把两个元素结合就意味着先做一次重排、再做一次。它把 n 个东西的所有置换收进单一结构，记作 Sₙ。

形式地说，Sₙ 是从一个 n 元素集合到自身的所有双射所成的集合，运算为函数复合。它的大小是 n 的阶乘，n! = n · (n-1) · … · 2 · 1，因为第一个对象的去向有 n 种选择，下一个有 n-1 种，依此类推。复合是结合的，恒等置换什么都不做，每个重排都能被还原——所以群公理全部成立。

对称群之所以居于核心，是因为凯莱定理：每个有限群都是某个 Sₙ 的子群，所以理解对称群就等于换个面貌理解了所有有限群。当 n 至少为 3 时，Sₙ 是非阿贝尔的——你执行两次重排的先后顺序确实要紧。