同态

同态是两个代数结构之间的一种映射，它尊重彼此的运算——把一方的“语法”搬到另一方而不打乱。其口号是：先做运算再映射，或先映射再做运算，得到的结果相同。它是一种保意义的翻译，即便会丢失一些细节。

形式地说，就群而言，从 G 到 H 的函数 f 若对所有 a, b 都有 f(a * b) = f(a) * f(b)，则它是同态——左边用 G 的运算，右边用 H 的运算。就环而言，映射须同时尊重加法与乘法。同态会自动把单位元映为单位元、把逆元映为逆元，所以结构确实被搬运了过去。

同态不必是单射或满射；它可能压缩信息。压缩之后幸存下来的，由核（一切被映到单位元的元素）和像来刻画。群同态的核永远是正规子群，环同态的核永远是理想——这正是这些映射与商结构直接相连的方式。