理想

理想是环的一个特殊子集，对乘法而言它像一个“黑洞”：把理想中的任何东西乘以环中的任何元素，乘积都会被吸回理想之中。整数里的偶数就是典范例子——把任何偶数乘以任何整数，结果仍是偶数。正是这种吸收性使理想如此有用。

形式地说，环 R 的子集 I 若在加法下构成子群（对加法与取相反数封闭、含 0），并且吸收乘法：对每个 R 中的 r 和每个 I 中的 a，r · a 与 a · r 都落在 I 中，则 I 是理想。这条吸收条件远比仅仅在自身内部封闭要强得多——它向外延伸，把与整个环的乘积都拉进来。

理想是环论中正规子群的对应物：它们恰好是你可以“对其取商”、从而构造一个更小的环 R/I 的那些子集，正如你把整数模 n 约化一样。n 的倍数构成的理想，正产生出模 n 的整数。理想还编码了整除与因式分解，这正是它们在代数与数论中都居于核心的原因。