环

环是一个能做加法、减法和乘法的集合——但不承诺能做除法。它抽象了整数的日常算术：两个整数可以相加、可以取相反数、可以相乘，但 2 除以 3 就跑出了整数之外。环恰好抓住了“两个相互作用的运算”，而不坚持要求每个非零元素都可逆。

形式地说，环是带两个运算（加法与乘法）的集合，其中加法使它成为阿贝尔群（有零元和相反数），乘法满足结合律，两者由分配律联系起来：a · (b + c) = a · b + a · c（另一侧也成立）。有些作者还要求有乘法单位元 1；约定不一，须查阅出处。

环中的乘法不必可交换——方阵环就是一个重要的非交换例子。当乘法确实可交换时，称该环为交换环，这便是通往那些特别良好之环的门户：整环（无零因子），以及位于顶端的域（每个非零元素皆可逆）。