域

域是一种数系，其中四种算术运算——加、减、乘、除（除以零除外）——总能进行，结果也总留在集合之内。有理数和实数都是域；正是这种结构让中学代数运行顺畅，因为只要 a 不为零，你就能直接做除法来解 a · x = b。

形式地说，域是一个带单位元的交换环，其中每个非零元素都有乘法逆元。等价地说，非零元素在乘法下构成阿贝尔群。正是这一条额外的保证——每个非零元素皆可逆——把域与像整数那样的纯粹整环区分开来。

即便在域中，除以零仍被禁止：0 没有乘法逆元，因为 0 乘任何东西都是 0，永远得不到 1。域有许多种类：有理数、实数、复数，以及元素个数为素数的有限域（模 p 的整数）。它们是求解方程、构建向量空间以及整个伽罗瓦理论的自然栖所。