实数

想象一把笔直、无尽、处处没有空隙的尺子。它上面的每一个点——无论落在像 2 这样的整齐刻度上、像 3/4 这样的分数上，还是像 pi 这样无尽的小数上——都代表一个实数。实数就是住在这条数轴上的全部数。

更准确地说，实数由全体有理数连同全体无理数组成；数轴上的每个数非此即彼。实数支持加法、减法、乘法，以及除以非零数的运算，并且是完全有序的，因此任意两个实数之间，必有其一小于、等于或大于另一个。

实数的一个本质特征是它没有空洞：任意两个实数之间总还夹着另一个实数，而且这条数轴在“完备”的意义上是连续的，即实数序列的极限仍是实数。一个需要坦白的局限是：负数的平方根不是实数，因为没有任何实数的平方会得到负数——处理这类情形需要虚数和复数。