无理数

有些数无论你怎样努力，都拒绝被写成一个干净的分数。它们的小数无穷无尽地写下去，却始终不落入任何循环的规律。这些就是无理数——它们是真实存在于数轴上的量，却能从每一次想把它们写成比的尝试中溜走。

正式地说，无理数就是无法写成两个整数之比的实数。最著名的例子是 sqrt(2)（单位正方形的对角线）、pi（圆周长与直径之比）以及 e。它们的小数展开既无穷又不循环，所以你永远无法把它们完整写出，也无法写成分数 a/b。

古希腊人证明了一个惊人的事实：sqrt(2) 是无理数——假设它等于一个最简分数，会推出矛盾。更令人意外的是，无理数比有理数“多”得多——在数轴上任意两点之间，到处都是无理数。有理数和无理数合在一起就构成全部实数，而两者之间没有任何重叠。