函数

可以把函数想成一台可靠的机器：你放进一个输入，它就交还给你恰好一个输出。放进 3，每一次都得到同样的答案。它最核心的承诺就是这种「唯一性」——同一个输入绝不会产生两个不同的答案。如果一台自动售货机今天给你汽水、明天对同一个按钮给你薯片，那它就不是函数。

严格地说，从集合 A 到集合 B 的函数 f 为 A 中的每个元素指定 B 中恰好一个元素，记作 f: A → B。关键词是「恰好一个」：每个允许的输入都必须有输出，而且只能有一个。许多不同的输入可以共享同一个输出（这是允许的），但单个输入绝不能分裂成两个输出。

函数是代数乃至全部高等数学的核心对象。一旦你能描述一个量如何依赖于另一个量——距离依赖时间、成本依赖数量、面积依赖边长——你就有了一个函数，于是图像、变换、反函数这一整套工具就都可以用来研究它了。