同构

同构是说两个结构是同一样东西穿着不同的衣裳。如果你能把它们的元素完美地配对起来，而且这种配对尊重每一个运算，那么关于其中一个为真的任何事情，对另一个也为真——区别只在元素的名字。这是数学正式表达“它们本质上完全相同”的方式。

形式地说，同构是既是双射又是同态的映射：它保持运算，并把两个结构的元素恰好一一配对、没有任何剩余。由于它可逆、其逆也是同态，这种关系是完全对称的——双方地位平等。以此相连的两个结构称为同构的。

“在同构意义下”对对象进行分类是代数的核心目标之一：与其列出一串看上去相像的群的无尽清单，不如把每一种真正不同的形态描述一次。困难之处往往在于证明两个结构并不同构——为此你要找一个不变性质，比如元素个数、某给定阶的元素个数，或运算是否可交换，使一个具有而另一个不具有。