单位根

单位根是某个复数，当它被乘到某个整数次方时恰好得到 1。这名字说得很直白：单位（数字一）的根（n 次方根）。在实数范围内，1 只有一或两个这样的根，但在复数范围内，图景要丰富、对称得多。

形式上，n 次单位根是 z^n = 1 的解。它们恰好有 n 个，完美均匀地分布在单位圆上，构成一个正 n 边形的顶点。用极坐标形式，它们是 cos(2πk/n) + i sin(2πk/n)，其中 k = 0, 1, ..., n-1。其中总有一个就是 1 本身，位于角 0 处。

单位根在数学中无处不在——它们驱动离散傅里叶变换、信号处理，以及伽罗瓦理论中深刻的对称性论证。本原 n 次单位根是这样一个根：它的各次幂能生成全部 n 个根，这使该集合在乘法下成为一个循环群。