项代数

项代数是纯语法的代数：它的元素是你能在给定语言中写出的形式表达式，尚未施加任何等式，而运算不过是用较小表达式拼出较大表达式的动作。可把它想成一切未化简公式之集，如“(x · y) · z”与“x · (y · z)”，作为字符串严格区分，纵然它们日后会被结合律逼使相等。

严格地说，固定签名 Σ 与一组变元 X。X 上 Σ-项之集递归地定义：X 中每个变元与 Σ 的每个常量都是项；若 f 元数为 n 且 t_1, ..., t_n 为项，则 f(t_1, ..., t_n) 为项。项代数 T_Σ(X) 以这组项为载体，每个符号 f 以逐字成项来作用。它是全体 Σ-代数之簇（无恒等式者）中的自由代数，故有时称作绝对自由的。

项代数提供了雕琢出每个其他代数的原料。从 X 到 Σ-代数 A 的任意函数都唯一延拓为同态 T_Σ(X) -> A——这正是公式在 A 中的“求值”。把 T_Σ(X) 模去由一组恒等式 E 生成的同余，便得到簇 Mod(E) 的自由代数；于是项代数加同余重构出全部自由代数，而恒等式本身化为项的相等。