同余关系

同余是一种“尊重”运算的等价关系，使你可以安心地用类、而非个别元素来运算。脑中要记的样板是模 n 的算术：若 a ≡ a' 且 b ≡ b'（模 n），则 a + b ≡ a' + b'、a·b ≡ a'·b'，于是加法与乘法可下降到剩余类。同余正是把这种“与运算的相容性”推广到任意代数。

严格地说，Σ-代数 A 上的同余是 A 上一个与每个运算相容的等价关系 θ：对每个元数为 n 的 f，只要 a_i θ b_i（i = 1, ..., n），就有 f^A(a_1, ..., a_n) θ f^A(b_1, ..., b_n)。等价地，把 θ 看作 A × A 的子集，它是积代数 A × A 的一个同时又是等价关系的子代数。同余正是使商成为可能者：唯当关系相容时，类上的诱导运算才良定。

同余对一般代数所起的作用，恰如正规子群之于群、理想之于环——事实上群的同余与其正规子群一一对应，环的同余与其（双边）理想一一对应。A 上全体同余的集合 Con(A) 按包含排序是一个完备格（同余格），其形态——分配、模、单——蕴含着关于 A 的深刻结构信息。