商代数

作商意味着有意地模糊区别：你决定某些元素应算作“相同”，把它们粘成一个点，再问运算在粘合后的集合上是否仍说得通。当粘合是按一个同余进行时，它们确实说得通——所得的商代数，是同类型的一个真正更小的代数，往往在去除杂音后显露出本质结构。

严格地说，设 θ 为 Σ-代数 A 上的同余。商代数 A/θ 以同余类集 {[a] : a 属于 A} 为载体，对每个元数为 n 的运算 f，定义 f^{A/θ}([a_1], ..., [a_n]) = [f^A(a_1, ..., a_n)]。θ 的相容性恰好保证此定义与所选代表无关，故运算良定、A/θ 仍是一个 Σ-代数。映射 a -> [a] 是满同态 A -> A/θ，称为典范映射或商映射。

商代数是同态定理在泛代数中的来源：A 的每个同态像都同构于某商 A/θ，其中 θ = ker(h) 是核同余 {(a, b) : h(a) = h(b)}。这一幅图像特殊化为群的 G/N、环的 R/I 与模的 M/N。伯克霍夫定理记录道：对商（H，同态像）的封闭性是定义簇的三种封闭之一。