商环

商环是你决定把某个理想中所有元素都当作零来对待时所得到的东西——你“模掉”这个理想，研究余下的简化算术。它是构造商群在环论中的对应物，也是给环施加关系的泛用方法。

给定环 R 与一个双边理想 I，商环 R/I 由陪集 a + I 构成，加法为 (a + I) + (b + I) = (a + b) + I，乘法为 (a + I)(b + I) = a·b + I。对 I 施加理想条件恰恰使陪集上的乘法良定义。自然投影 R → R/I，把 a 送到 a + I，是一个满的环同态，其核为 I。

商环受第一同构定理支配：对从 R 出发的任何环同态 f，其像同构于 R/ker(f)。商的性质编码了理想的性质——R/P 是整环当且仅当 P 是素理想，R/M 是域当且仅当 M 是极大理想。这部对照词典把关于理想的问题转化为关于商环的问题，并可反向转回。