素理想

想想素数的行为方式：如果素数 p 整除乘积 a·b，那么它必定整除 a 或整除 b。素理想恰好把这种“分裂”行为从数提升到理想上。它是“素性”在环论中的抽象，也是两大理想家族中更基础的那一个（另一族是极大理想）。

严格地说，在带单位元的交换环 R 中，一个真理想 P（即 P ≠ R）称为素的，如果只要 a·b 属于 P，就有 a 属于 P 或 b 属于 P。一个等价且非常有用的刻画是：P 是素的当且仅当它的补集 R \ P 在乘法下封闭（对乘积封闭且含 1）；另一个等价说法是商环 R/P 是整环。这三种视角——整除性、乘法补集、整环商——是同一事实的三副面孔。

素理想是代数几何中的“点”：素谱 Spec(R) 就是全体素理想构成的集合，这是概形理论的基石。值得提醒的一点是：在非交换环中，定义必须用理想而非元素来表述（理想 P 是素的，如果对理想 A、B，A·B ⊆ P 蕴含 A ⊆ P 或 B ⊆ P），因为逐元素的版本太弱了。零理想是素的当且仅当 R 是整环。