相伴素理想

一个模的相伴素理想是「明显附着于它」的素理想——那些恰好作为「消灭某单个元素之物的精确集合」而出现的素理想。若把模看作几何对象，其相伴素理想就是它所坐落的不可约分量，连同它在更低维处藏有隐秘模糊的那些额外嵌入素理想。它们是准素分解所重建的内蕴骨架。

设 M 是交换环 R 上的模。素理想 p 称为 M 的相伴素理想，若 p 是 M 中某单个元素 x 的零化子，即对某 x 有 p = Ann(x) = { r in R : rx = 0 }。这些素理想之集记作 Ass(M)。等价地，p 是相伴的当且仅当 R/p 作为子模嵌入 M。对诺特环及有限生成的 M，只要 M 非零，Ass(M) 就有限且非空。

两个结构性事实使它们威力强大。其一，M 上的零因子之集恰是相伴素理想之并——故相伴素理想精确地探测出乘法在何处失去单射性。其二，取 M = R/I，相伴素理想 Ass(R/I) 恰是 I 的极小准素分解中出现的那些素理想，既包含极小（孤立）素理想——那些极小地包含 I 者——也包含嵌入素理想——那些真包含另一个相伴素理想者。