模

模就是把向量空间的想法中的标量从域换成环之后得到的东西。你仍然有可以相加、可以伸缩的向量，但现在标量未必有逆元——你能把一个向量乘以 2，却未必能除以 2。向量空间里那些令人舒心的性质（基、维数、补空间）大都变成了可有可无，而哪些性质还能保留下来，正是模论所研究的核心。

确切地说，设 R 是带单位元 1 的环。一个左 R-模是一个阿贝尔群 (M, +)，配上一个标量乘法 R × M -> M，记为 (r, m) |-> rm，满足 r(m + n) = rm + rn、(r + s)m = rm + sm、(rs)m = r(sm) 以及 1m = m，对所有 r、s 属于 R 与 m、n 属于 M 成立。右模对称地定义，标量从右边作用。当 R 交换时两个概念重合。

模统一了大量不同的对象。域上的模恰好是向量空间；Z 上的模恰好是阿贝尔群（标量作用是被迫的：n 乘 m 就是 m + m + ... + m）；多项式环 k[x] 上的模就是一个向量空间外加一个选定的线性算子（x 作为那个算子作用）。最后这个视角把 k[x] 上的线性代数变成了单个算子的理论，而结构定理由此重新得到若尔当标准形与有理标准形。