模论
自由模
自由模是行为最像向量空间的模：它有基。每个元素都是基元素带环系数的唯一有限组合，所以你可以像线性代数里那样老老实实地做坐标计算。自由模是最简单、最透明的模，而每个模都是某个自由模的商——它们是构造一切模的原料。
形式地说，R-模 F 在集合 B（F 的子集）上自由，如果 F 的每个元素都是 B 中有限多个元素的唯一 R-线性组合；等价地，F 同构于若干份 R 的直和，B 的每个元素对应一份。B 的基数称为秩。其定义性的泛性质是：从 B 到任意 R-模 M 的任意函数都唯一地延拓为 R-模同态 F -> M，所以自由模是 R-模范畴中的自由对象。
在域上每个模都是自由的（这恰好是任意向量空间存在基），但在一般环上多数模并非自由——Z/2Z 不是自由 Z-模，因为没有非零子集线性无关。一个微妙之处：对交换环秩是良定的，但存在（非交换）环 R 使得 R 作为模同构于 R 的平方，所以一旦离开交换世界，连秩都可能失灵。
带标准基 e_1, ..., e_n 的 R^n 是 R 上秩为 n 的自由模。在 Z 上，模 Z ⊕ Z 是秩为 2 的自由模，基为 (1,0)、(0,1)，而 Z/2Z 没有任何 Z-线性无关的元素，完全不是自由的。
R 的各份直和就是自由模；像 Z/2Z 这样的挠模绝不是。
每个自由模都是投射的且平坦的，但逆命题不成立；不过在主理想整环上，自由模的每个子模仍是自由的，这是结构定理的技术核心。在局部环上，有限生成的投射模必为自由（这是中山引理发挥作用的一种形式）。
另见