模的直和

直和把若干模并排拼成一个更大的模，各部分之间互不干扰——就像把彼此独立的数轴叠起来构成平面。每个直和项保留自己的运算，整体的一个元素无非是一个元组，每个部分各取一个。这是模合并时不损失任何信息的方式：你总能读出每个分量。

对以 I 中 i 为指标的一族 R-模 (M_i)，直和 ⊕ M_i 是元组 (m_i) 的集合，其中 m_i 属于 M_i 且只有有限多个 m_i 非零，运算按分量相加与标量乘。直积 ∏ M_i 去掉有限性条件；当 I 有限时二者相同。直和是 R-模范畴中的余积：从 ⊕ M_i 出发的映射对应于从各 M_i 出发的一族映射。

模 M 是子模 N_1, ..., N_k 的内直和，记作 M = N_1 ⊕ ... ⊕ N_k，如果每个元素都唯一地写成 n_1 + ... + n_k，其中 n_i 属于 N_i；等价地 M = N_1 + ... + N_k 且每个 N_j 与其余项之和只在 0 处相交。把模分解为更简单（最好是不可分解）的直和项，是结构理论的核心目标之一。