积（范畴论）

范畴论中的积把笛卡尔积的观念——把两物配成一对——抽象为纯箭头语言。关键洞见是：有序对 (a, b) 与两条分立信息（一个 a 与一个 b）是同一份资料。所以两个对象之积应是这样一个泛对象：从中可在每个因子上读出一个坐标，而通往它的映射恰是通往每个因子的映射。

形式地说，对象 A 与 B 之积是一个对象 A × B 连同两个投影态射 p : A × B -> A 与 q : A × B -> B，满足泛性质：对每个带有态射 f : X -> A 与 g : X -> B 的对象 X，存在唯一态射 ⟨f, g⟩ : X -> A × B 使得 p ∘ ⟨f, g⟩ = f 且 q ∘ ⟨f, g⟩ = g。于是积是同时映入 A 与 B 的泛方式。

积未必在每个范畴中都存在，但一旦存在便在唯一同构意义下唯一。此构造还原了熟悉的例子：Set 中的积是笛卡尔积，Grp 中是群的直积，Top 中是带积拓扑的积空间。积恰是无箭头的两对象图上的极限，这正是它何以推广到任意族之积乃至更广的原因。