拉回

拉回是范畴论中取“两个映向共同目标的映射的共同解”的方式。若 f : A -> C 与 g : B -> C 是落入同一对象 C 的两个箭头，拉回把那些在被推入 C 后一致的元素对（一个来自 A、一个来自 B）组装起来。它同时是广义的交、广义的原像、以及广义的逐纤维之积，这正是它从粘合资料到几何中的基变换处处出现的原因。

形式地说，f : A -> C 与 g : B -> C 的拉回是一个对象 P，连同态射 p : P -> A 与 q : P -> B 使 f ∘ p = g ∘ q，并在此类方块中是泛的：对任何带有映向 A 与 B、且在 C 上一致的映射的对象 X，存在唯一与 p、q 相容的态射 X -> P。拉回恰是图 A -> C <- B 的极限，这一角形图称为 cospan（余张量／余跨）。

在 Set 中，拉回具体为 {(a, b) 属于 A × B : f(a) = g(b)}，是积中由一致性条件切出的子集。特例还原了熟悉的运算：C 的两个子对象之拉回是它们的交；f 沿包含 S -> C 之拉回是原像 f^(-1)(S)；而在合适的范畴中 A -> C 与 B -> C 之拉回是用于把一族作基变换的纤维积。一个是拉回的方块也称为笛卡尔方块。