标量扩张

标量扩张是把一个模搬到更丰富的系数世界的运算——例如允许一个实向量空间被复数相乘。你保留同样的生成元，却扩大了被许可用来缩放的标量供给，而张量积正是一致地执行这种扩大的精确机器。

设 f: R -> S 是环同态，使 S 成为 R-代数，并设 M 是 R-模。M 沿 f 的标量扩张是 S-模 S ⊗_R M，其中 S 作用于左因子：s'·(s ⊗ m) = (s's) ⊗ m。这是标量限制（经 f 把 S-模视为 R-模）的左伴随，故 Hom_S(S ⊗_R M, N) ≅ Hom_R(M, N) 自然成立——这正是定义基变换的万有性质。

若 M 在 R 上自由、带基 {e_i}，则 S ⊗_R M 在 S 上自由、带同一基 {1 ⊗ e_i}，故一个实 n 维空间复化为一个复 n 维空间。诚实的告诫：标量扩张是右正合但一般非正合（它可能不保单射，因 ⊗ 非左正合），它保持自由／投射／平坦性质，并与直和交换。