伴随函子

伴随大概是范畴论的核心概念：它精确刻画了无处不在的“从一侧的最佳逼近”这一模式。自由构造、遗忘映射、阿贝尔化、斯通–切赫紧化、张量–同态、以及极限与余极限，都是它的实例。其口号是：左伴随是自由添加结构的最有效方式，右伴随是遗忘结构的最有效方式——而二者由一个箭头间的自然双射锁定在一起。

函子 F : C -> D 与 G : D -> C 构成伴随对，记作 F ⊣ G（F 为左伴随，G 为右伴随），若存在对 A 与 B 都自然的双射 Hom_D(F(A), B) ≅ Hom_C(A, G(B))。等价地，这份资料可打包为一个单位自然变换 η : id_C => G ∘ F 与一个余单位 ε : F ∘ G => id_D，满足三角恒等式。Hom 集双射是最易记的形式：“从自由对象出发”的映射等同于“映入被遗忘对象”的映射。

两条结构性定理使伴随威力强大。左伴随保持一切余极限，右伴随保持一切极限——所以一个不保持比如积的函子，根本不可能是右伴随。而伴随函子定理给出条件（解集条件加上极限保持），使一个保持极限的函子确实拥有左伴随。伴随一旦存在便在自然同构意义下唯一。