自由群

自由群是没有意外的群——只服从每个群都必须服从的规则。取一些字母；用它们及其逆构造所有可能的字符串；唯一允许的化简是把紧邻自身逆的字母相消。除此之外没有任何东西等于单位元。它是其生成元上最『无约束』的群，该些生成元上的任何其他群都是它的商。

形式上，集合 S 上的自由群 F(S) 是 S 与 S^(-1) 上约化字（不含相邻对 xx^(-1) 或 x^(-1)x 的字）的集合，运算为拼接后再作自由约化。其定义性的泛性质是：从 S 到任意群 G 的任何函数都唯一地延拓为同态 F(S) 到 G。S 的基数是秩，是同构不变量；秩 1 的 F 就是 Z，而秩至少为 2 时非阿贝尔。无关系的表现 ⟨ S | ⟩ 恰是 F(S)。

自由群是组合群论的基石：每个群都是某自由群的商（只需把生成集映到自身），这正是表现所表达的内容。从几何上看，自由群关于自由基的凯莱图是一棵树，无限且正则，没有回路——这是其负曲率行为、指数增长，以及它们能自由作用于树的根源。