凯莱图

凯莱图把一个群变成你可以四处走动的场所。为群的每个元素画一个点。选一组『走法』，即生成元；从每个点出发，向这一走法把你带到的位置画一条箭头。结果是一幅道路与城市的图景：城市是群元素，道路是生成元，生成元的任何乘积都是一条路线。群的代数化为这张网络的几何。

精确地说，给定群 G 与生成集 S，凯莱图 Cay(G, S) 以 G 为顶点集，对每个 g 属于 G 与 s 属于 S，从 g 到 gs 连一条边。当 S 对称（关于取逆封闭）时，通常将其视为无向图，并常用生成元给边标号。G 对自身的左乘作用化为图自同构作用，因而从每个顶点看图都一样：凯莱图是顶点可迁的。

这幅图依赖于所选生成集——不同的 S 给出外形不同的图——但对有限生成群而言，其大尺度形状在拟等距意义下与该选择无关。这正是几何群论的基石：群的性质（增长、端、双曲性、可均性）化为凯莱图中在更换生成元后仍保留的几何特征。