增长函数

站在群的单位元处问：至多 n 步能到达多少个元素？走一步——数邻居；走两步——数能触及的一切。这个随半径 n 变化的计数就是增长函数。它记录群在你周围『展开』得有多快：稀疏的群几乎不增长，枝繁叶茂的自由群则爆炸式增长。

固定有限生成群 G 与有限对称生成集 S。增长函数为 β_S(n) = |{ g 属于 G : |g|_S ≤ n }|，即字度量中半径 n 的闭球内元素个数。（有些作者采用球面计数变体，只数字长恰为 n 的元素。）此函数依赖于 S，但其渐近行为不依赖，这正是它作为不变量有用的原因。

称两个增长函数 f 与 g 等价，若各自都被另一个的线性重标度所控制：f(n) ≤ A g(Bn + C) + D，且对称地成立。在此关系下，β_S 的等价类与生成集无关，且是拟等距不变量。这个等价类——群的增长型——正是在增长率条目中单独刻画的内容。