幂零群

幂零群是一种以受控的分层方式“几乎交换”的群：若反复把中心折叠进去，它不交换的程度便会消散。每次相对整个群对换位子取商，群都会变简单，而对幂零群，这一过程在有限步内到达平凡群。

形式地，G 的下中心列由 γ_1 = G、γ_{i+1} = [G, γ_i] 定义，后者是由群元素与 γ_i 中元素的所有换位子生成的子群。若对某个 c 有 γ_{c+1} = 1，则称群幂零；最小的这种 c 是它的幂零类。等价地，上中心列 1 ⊴ Z(G) ⊴ Z_2(G) ⊴ ...（每步取商群中心的原像）在有限步内到达整个 G。

幂零严格地介于交换与可解之间：每个交换群都是类 ≤ 1 的幂零群，每个幂零群都可解，但两个逆命题都不成立。对有限群，幂零有一个干净的刻画——有限群幂零当且仅当它是其西罗子群的直积，等价地当且仅当每个西罗子群都正规。这正是有限 p-群成为幂零群原型的原因。