西罗定理

拉格朗日定理说子群的阶整除群的阶，但并不保证每个因数都有对应的子群。西罗定理给出了已知最强的部分逆命题：对整除 |G| 的每个素数的最高幂，恰好那么大的子群总存在，且这类子群表现极佳。它们是仅凭群的阶分析有限群最强有力的初等工具。

设 |G| = p^k · m，其中 p 为素数且 p 不整除 m。一个西罗 p-子群是阶为 p^k 的子群。三条定理是：(1) 存在性——西罗 p-子群存在，事实上每个 p-子群都包含于某个西罗 p-子群中。(2) 共轭性——任意两个西罗 p-子群在 G 中共轭，故尤其全部同构。(3) 计数——西罗 p-子群的个数 n_p 满足 n_p ≡ 1 (mod p) 且 n_p 整除 m；等价地对任一西罗 p-子群 P 有 n_p = [G : N_G(P)]。

计数约束在小情形足够锐利，能完全确定群：若 n_p = 1 则该西罗 p-子群正规，许多阶恰好迫使如此。这是证明给定阶的群不可能为单群、从而分类小群的标准途径。这些定理的证明本身是群作用、类方程与轨道-稳定子定理的优雅应用。