单群

单群是群论中不可分割的原子。一个群是单的，若你无法用任何商把它拆开：除了两个平凡正规子群外，它没有可供坍缩的正规子群。正如每个整数都分解为素数，每个有限群都经由合成列由单群组装而成，故单群是整个有限理论不可约的构件。

形式地，群 G 是单的，若它非平凡且其唯一的正规子群是 {1} 与 G 本身。交换单群恰是素数阶的循环群 Z/pZ——容易列举。非交换单群则丰富得多：最小的是阶为 60 的交错群 A_5，且交错群 A_n 对所有 n ≥ 5 都单。

有限单群分类定理，历经数千页期刊论文完成，断言每个有限单群要么是素数阶循环群、交错群 A_n（n ≥ 5）、李型群，要么是 26 个散在群之一（最大者为魔群，阶约 8 x 10^53）。它是二十世纪数学的丰碑成就之一。一个警示：单性是说群没有真商，而非说它小或结构平凡——单群可以极其庞大而精致。