五次方程的不可解性

对二次、三次和四次方程，数学家最终找到了万能公式，只用算术与开方便能从系数算出根。三百年间人们一直在寻找五次的类比公式。令人震惊的答案是：这样的公式根本不可能存在——不是因为难找，而是因为它不可能。

确切地说，阿贝尔–鲁菲尼定理断言：不存在一个一般的根式公式，能仅用系数、四则运算与开方解出每一个五次方程。同样的不可能性对五次及更高次的每一个次数都成立。伽罗瓦理论指明了原因：一般五次方程的伽罗瓦群是 5 元对称群，而这个群不可解。

两点诚实的提醒。第一，这并不是说五次方程没有根——由代数基本定理它们总是有根，数值方法也能求出。第二，这也不是说没有任何具体的五次方程可解：像 x^5 - 2 = 0 这样的特殊方程是可解的。该定理排除的是一个对所有五次方程都通用的单一根式公式。