根式可解性

一个多项式方程称为根式可解的，如果你能只用日常材料写出它的根——即你出发时的那些数、四则运算，以及任意深度嵌套的开方（平方根、立方根等等）。一元二次方程的求根公式就是著名例子：它的根来自对系数施行一次平方根。

确切地说，域 K 上的方程称为根式可解，如果它的根落在某个扩张塔 K = K0 ⊆ K1 ⊆ ... ⊆ Kn 中，其中每一步 Ki+1 都是把某个已有元素的 n 次方根添加到 Ki 上得到的。伽罗瓦定理把这个条件群论化了：方程根式可解，当且仅当它的伽罗瓦群是可解群——一种能被拆解为若干阿贝尔（可交换）片段的群。

这是关于公式的陈述，而非关于根是否存在。由代数基本定理，每个次数至少为一的多项式在复数中都有根。根式可解性追问的是更尖锐的问题：这些根能否用一个仅由算术与开方构成的有限公式表达？对一般的五次方程乃至更高次，答案是否定的。