伽罗瓦群

当你扩张一个域时，多出来的元素往往带有隐藏的对称性：可能存在好几种方式重新排列它们，既尊重全部算术，又让原来的域纹丝不动。伽罗瓦群把这次扩张的所有这些对称性收进同一个群，于是扩张的几何就变成了一个群的代数。

确切地说，对域扩张 L/K，伽罗瓦群，记作 Gal(L/K)，是 L 上保持 K 中每个元素不动的全体自同构所构成的群。每个这样的自同构都置换多项式的根，却从不扰动 K 中任何东西。在复合下，这些自同构构成一个群，恒等映射为其单位元。

当 L 是 K 的伽罗瓦扩张时——即同时是正规且可分的——伽罗瓦群最为强大。此时群的阶等于扩张的次数，并且这个群恰好编码了根之间可以如何一致地互换。这正是把关于方程的问题转化为关于有限群的问题的桥梁。