伽罗瓦理论

伽罗瓦理论的发现在于：关于多项式方程的难题，在对称群的世界里有一个隐秘而更容易的对应物。你不必直接和方程的根纠缠，而是研究这些根在不破坏任何算术的前提下可以如何洗牌，而被允许的洗牌方式所呈现的模式，会告诉你想知道的一切。

更确切地说，伽罗瓦理论把一个域扩张和一个对称性的群（它的伽罗瓦群）联系起来，并把关于子域、根与可解性的陈述翻译成关于子群、不动集与群结构的陈述。一个在域的语言中看似难以下手的问题，在有限群的语言中可能变成一次例行的检验。

它最著名的成就是精确地解释了哪些方程可以用根式求解——即只用域运算外加开方。答案是：恰好那些伽罗瓦群在技术意义上“可解”的方程。这正是为什么一般的五次方程没有根式公式，而每个二次、三次、四次方程都有。