伽罗瓦理论基本定理

在一个伽罗瓦扩张内部，通常在基域与顶层之间堆叠着许多中间域——而在它的伽罗瓦群内部又有许多子群。基本定理断言：这两个集合彼此是完美的镜像：每个中间域恰好对应一个子群，反之亦然，构成一部整洁可逆的字典。

确切地说，对伽罗瓦群为 G 的有限伽罗瓦扩张 L/K，在满足 K ⊆ F ⊆ L 的诸域 F 与 G 的诸子群 H 之间，存在一个一一的、保持包含关系反序的对应。对域 F，指派保持 F 不动的那个自同构子群；对子群 H，指派它的不动域。更大的域对应更小的子群，这正是“反序”的含义。

这部字典还带有额外结构：L 在某中间域上的次数等于其对应子群的阶；而一个中间域本身是 K 的正规（伽罗瓦）扩张，当且仅当它对应的子群是 G 的正规子群——此时较小的伽罗瓦群是一个商群。这正是伽罗瓦理论几乎所有应用背后的引擎。