p-群

p-群是完全由单个素数构建的群：每个元素的阶都是 p 的某个幂。对有限群而言，这等同于说群的阶是 p 的幂。它们是“素数幂阶的原子”，而西罗定理使其成为按素数逐一组装任何有限群结构的基本构件。

形式地，对固定素数 p，若群中每个元素的阶都为某个 p^n（n ≥ 0，依元素而定），则称其为 p-群。由柯西定理与拉格朗日定理，有限群是 p-群当且仅当 |G| = p^k（某个 k）。它们决定性的结构特征——由类方程证得——是非平凡有限 p-群总有非平凡中心。

由非平凡中心这一事实可推出许多结论：有限 p-群是幂零的，它们对整除 |G| 的每个阶都有一个正规子群（即一条完整的正规子群链，相邻商的阶均为 p），且除非阶为 p 否则绝非单群。无限情形更丰富也更奇异——普吕弗 p-群 Z(p^∞) 是一个无限 p-群，其每个真子群都有限——故不应把干净的有限图景过度外推。